Đề thi thử Đại học 2009 - Đề số 5
Câu I: Cho hàm số y = –2x3 + 6x2 – 5
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(–1, –13).

Câu II:
1. Giải phương trình:

2. Tìm m để phương trình:
có nghiệm.

Câu III: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); và mặt phẳng (P): x + y + z = 0
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M ( (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.

Câu IV:
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0 và
.
2. Chứng minh rằng hệ
có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0

Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Tìm x, y ( N thỏa mãn hệ

2. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d:
. Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A ( d

Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1. Giải phương trình

2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chóp. Cho AB = a, SA = a
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC ( (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.

Bài giải
Câu I:
1. Khảo sát y = –2x3 + 6x2 – 5 (Bạn đọc tự làm)
2. Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua A(–1, –13)
Ta có y` = –6x2 + 12x
Gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm thuộc (C) (

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0: y – y0 = f `(x0)(x – x0)
(

Vì tiếp tuyến đi qua A(–1, –13) nên




(

Ta có

M(1, –1) thì phương trình tiếp tuyến với (C) qua A là
y + 1 = 6(x – 1) ( y = 6x – 7
M(–2, 35) thì phương trình tiếp tuyến với (C) qua A là
y – 35 = –48(x + 2) ( y = –48x – 61



Câu II:
1. Giải phương trình:
(1)
(1)













2. Tìm m để phương trình:
có nghiệm
Xét hàm số
(điều kiện: x ( 0)

, (x > 0
Vì

Ta có f giảm trên
và
nên ta có

.
Vậy, phương trình (1) có nghiệm
(
miền giá trị của f trên đoạn
( 0 < m ( 1

Câu III:
1. Đường thẳng AB có VTCP

Phương trình đường thẳng AB:

Điểm I (–3+2t; 5- 2t; –5+3t)
khi
(–3 + 2t) + (5 – 2t) + (–5 + 3t) = 0 ( t = 1
Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I(–1, 3, –2)
2. Tìm M ( (P) để MA2 + MB2 nhỏ nhất
Gọi H là trung điểm của đoạn AB. Tam giác MAB có trung tuyến MH nên:

Do đó MA2 + MB2 nhỏ nhất ( MH2 nhỏ nhất
Ta để thấy H(1, 1, 1), M ( (P)
MH nhỏ nhất ( MH ( (P) và để ý rằng mặt phẳng (P): x + y + z = 0 có PVT
và O ( (P) ( M ( (0, 0, 0)
Vậy, với M(0, 0, 0) thì MA2 + MB2 nhỏ nhất.
(khi đó, ta có
min(MA2 + MB2) = OA2 + OB2 = (9 + 25 + 25) + (25 + 9 + 49) = 142)

Câu IV:
1. Tọa độ giao điểm của 2 đường
và y = 0 là A(0, 0); B(1, 0